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有一段時間沒使用工程計算器(scientific calculator)了，但最近不得不用它來進行一些與模擬相關的計算。當然，我也可以用PC或智能型手機上一些合適的應用程序(app)，但總覺得手指按在計算器才有那種實質(zhì)的觸感，至少對我來說是這樣。
我執(zhí)行這項任務時所使用的特殊計算器是德州儀器(TI)開發(fā)的TI-30XA，它大約是在2004年時購買的。這款TI-30XA是在意大利制造的，我用它來替換掉另一臺約1993年左右開發(fā)的TI-30X。舊款的TI-30X與新機型極其類似，但它因為在鍵盤軟性互連板內(nèi)導體中出現(xiàn)多處發(fā)絲般的裂縫而「壽終正寢」了。不過，看著好幾代產(chǎn)品演進卻幾乎沒什么變化，其實也挺有趣的。
從網(wǎng)絡上就可以找到許多專門介紹計算器的愛好者以及博物館網(wǎng)站；例如，Datamath網(wǎng)站專門介紹TI的計算器，特別是其針對大眾市場開發(fā)的工程計算器(例如我的TI-30X/TI-30XA)。相較于更早期的傳奇惠普(Hewlett-Packard；HP)計算器HP-35 (1972)和TI SR-50 (1974)專門針對科學家、工程師和工程專業(yè)學生，TI “30”系列主要針對高中生以及非技術相關科系的大學生。

當我使用我的TI-30XA進行計算時，我發(fā)現(xiàn)它與其前一代產(chǎn)品有一個很大的不同點：新機型的小數(shù)點非常小，小到幾乎看不見(圖1)。起初，我覺得很懊惱也很困惑，因為新的計算器明明有著更大也更清楚的數(shù)字(好處)，但小數(shù)點竟然幾乎看不見(這我覺得不行)。

圖1：較舊款的TI-30X和較新一代的TI-30XA盡管其出廠年份不同，但外觀非常相似。不過，新款計算器有著較大的數(shù)字也更清楚易讀，但幾乎看不到小數(shù)點——再仔細看看兩張圖片上的顯示屏幕，小數(shù)點同樣都位于最左側(cè)的“2”和“8”之間.

然而，我很快地就意識到必須弄清楚小數(shù)點所在位置應該是件好事，至少在某種程度上是這樣。為什么？因為它迫使我去思考顯示器上的答案是否真的有意義。有幾次它讓我發(fā)現(xiàn)了其實沒什么意義，因為我輸入了錯誤的數(shù)字或誤用了某個公式。畢竟，我很確定不應該將1,500Ω的電流檢測電阻用于1A電流，即使顯示器上的數(shù)字如此呈現(xiàn)了；嗯……也許它真的應該是0.0015Ω？
而現(xiàn)實是，在模擬世界中，要達到0.1%的準確度(accuracy)和精度(precision)是一大挑戰(zhàn)，而要達到0.01%則是更大的挑戰(zhàn)。當然，我知道準確度和精度是不一樣的。0.1和0.01的百分比分別大致相當于三位數(shù)和四位數(shù)；而在計算器上顯示任何額外數(shù)字(與內(nèi)部用于最小化四舍五入/截尾取整的額外數(shù)字不同)都是不必要的，同時也意味著并不存在精度。
估算答案以及進行所謂的「完整性檢查」(sanity check)，二者都算是工程傳統(tǒng)和技能。回到真正的“BC”舊時代(在工程領域，“BC”是指「在計算器之前」和「在計算機之前」的時代)，對于工程師來說，無處不在的計算工具就是計算尺(slide rule；圖2)。這種模擬運算裝置——有數(shù)百個網(wǎng)站專門介紹它的歷史、用途和收藏——支持乘法、除法、對數(shù)、指數(shù)、三角函數(shù)以及其他特殊功能，但就是不包括加法或減法功能。

圖2：這種高階的計算尺——上圖是正面，下圖是背面——需要大量的練習才能正確使用，而且它提供了兩個甚至三個有效數(shù)字的結(jié)果。您需要自行設定小數(shù)點的位置，但在現(xiàn)代電子計算器器開發(fā)出來，以及計算尺過時被淘汰以前，它協(xié)助科學家和工程師完成了許多任務。（圖片來源：International Slide Rule Museum）
為了學習使用計算尺并熟練如何使用，需要學習的不僅僅是基本的「力學」(這其實已經(jīng)相當不容易了)，還必須了解方程式和算法、估算答案，并且搞清楚小數(shù)點應該放在哪里，因為計算尺上并不會為您提供這些信息。這些因素相當不利于簡單的「廢料進，廢品出」(濫入濫出；GIGO)的計算方式。
有些人用起來得心應手，有的人則不擅長這方面的技巧，但無論如何，它的確迫使每個人思考并先問「什么才是合理的答案」，以及使用計算尺進行計算。你可能會對于其相對缺乏精確度和明顯的粗糙度而深感驚訝，但想想多少橋梁的建造、船舶和飛機的設計，以及火箭發(fā)射等等精密任務，都少不了利用它作為工具。這也是對于那些工程師和設計師的技能和直覺之實際認證。
在此真正要傳達的信息是，在使用任何技術(無論是計算尺、計算器還是計算機)進行計算時，即使是嚴謹?shù)墓こ虒崉找灿匈囉谟诠浪愦鸢笐撌鞘裁础Ｈ绻嬖谳^大的差異(取決于具體設計，可能相差一、兩倍或甚至是一個數(shù)量級)，最好先暫緩任務以便找出原因。它很可能是數(shù)據(jù)輸入錯誤、應用公式錯誤，或甚至可能是您所做的一些基本假設錯誤。
您是否曾經(jīng)為了一個準確的答案想到「焦頭爛額」，但其實那個答案本身也存在大量的錯誤？您是否接受精度而忽略了準確度，或者您憑著自己的工程「直覺」而展開進一步調(diào)查？你有沒有見過其他人由于遵循精確的數(shù)字而試圖說服暫停工作，并進而重新評估結(jié)果？